三角形角平分线与平行线的综合应用，BC=CF的证明格式及范文

本文围绕三角形角平分线与平行线的综合应用，系统讲解证明BC=CF的标准格式与范文，通过角平分线性质定理和平行线同位角、内错角关系，构建角相等链条，进而证明三角形全等或等腰，最终推出线段相等，文章规范证明结构：明确已知、求证，分步推导并标注依据，范文示范完整思路：由角平分线得角相等，结合平行线转移角关系，证得△BCE≌△FCE或直接推出BC=CF，强调逻辑严密与书写规范，助力掌握几何证明核心 。

如图,在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，延长ED交BC的延长线于点F，求证：BC = CF。

图形描述：三角形ABC，BD为角平分线，DE∥BC，E在AB上，F在BC延长线上。

证明过程

证法一（利用等腰三角形判定）

1. 由平行线性质得角相等 由于DE∥BC，根据平行线的内错角相等，有： ∠EDB = ∠DBC （内错角） ∠FDB = ∠DBC （同位角）

2. 利用角平分线性质 因为BD平分∠ABC， ∠ABD = ∠DBC

3. 等量代换得等角 由步骤1和2可得： ∠EDB = ∠ABD 这说明△EBD是等腰三角形， EB = ED

4. 证明△EBF为等腰三角形 由于DE∥BC，根据平行线的同位角相等： ∠EFB = ∠DBC 而∠EBF = ∠ABD（公共角） 又因为∠ABD = ∠DBC（角平分线） EFB = ∠EBF 故△EBF是等腰三角形，得： EB = EF

5. 线段代换得出结论 由步骤3知EB = ED，由步骤4知EB = EF 所以ED = EF 即点D是EF的中点

6. 利用中点与平行线性质 在△BCF中，D是EF的中点，且DE∥BC 根据三角形中位线定理的逆定理，可得： BC = CF

证法二（利用相似三角形）

1. 由DE∥BC可得相似三角形 △AED ∽ △ABC （AA相似） AD/AC = AE/AB = DE/BC

2. 由角平分线定理 在△ABC中，BD是角平分线， AD/DC = AB/BC

3. 比例变换 由步骤1中的DE/BC = AD/AC 结合角平分线定理，经过比例推导可得： DE = (AD·BC)/AC

4. 证明△EDF ≅ △CBF 由于DE∥BC，有∠EDF = ∠CBF（内错角） 且∠EFD = ∠CFB（对顶角） 又因为DE = BC（由步骤3和已知条件推导） EDF ≅ △CBF (ASA)

5. 得出结论 由全等三角形性质，对应边相等： BC = CF

证明两条线段相等的核心思路有：

1. 构造等腰三角形：通过证明角相等来推出边相等，这是最基本的 。
2. 利用全等三角形：证明包含目标线段的两个三角形全等。
3. 运用比例关系：通过相似三角形或角平分线定理进行比例转换。
4. 辅助线技巧：本题中作平行线是关键，既创造了相似形，又产生了等角关系。

本题综合运用了角平分线性质、平行线性质和等腰三角形判定三大知识点，体现了几何证明中"由角到边"的典型思维路径，掌握这种综合分析 ，对解决复杂几何问题具有重要意义。